True 모형
y_t = a + bx_t + u_t
과소 모형
y_t = bx_t +v_t
과소모형을 가지고 추정
b_ols = sigma(x_t*y_t)/sigma{(x_t)^2}
y_t = a + bx_t + u_t을 대입후 조작을 통해 lim b_ols = a * E(x_t)/E{(x_t)^2} +b 가 되겠네요.
*아까 학생분이 과소모형인 경우 일치성이 깨지느냐 질문했는데 안해봐서 모르겠다 대답했는데 굳이 해보지 않아도 직관적으로 생각이 가능할 것 같네요.
왜냐하면 과소모형은 중요 변수가 누락이 되어서 우리가 오차항이라 설정한 부분 (위의 예에선 v_t) 에 대해
E(x_t *v_t) =0 이라는 가정이 깨질 가능성이 있기 때문입니다
예를 들어 토플 성적을 영어 공부 기간 및 이전의 다른 영어 성적등을 통해 예측한다 생각해봅시다. 그런데 우리는 개인의 지능등은 관찰이 불가능하기 때문에 모형에서 제외하였는데 이게 문제가 될 수 있죠. 왜냐하면 영어 공부 기간은 개인의 지적 능력에 의존하기 때문에 우리가 지능이 관찰 불가능해서 오차항으로 처리했는데 오차항이 영어공부기간이라는 변수와 의존성이 생긴다는 것이지요 즉 E(x_t *v_t) 은 영이 아니네요
위의 고전적 가정의 깨질시 일치성을 상실한다는 것을 계량 경제학 1에서 배우는 내용이니 잘 모르시겠으면 복습 :-D