1. 입문
데이터로 부터 추정량을 구하여 모수에 대한 guess로 사용하는 것이 우리가 공부한 내용의 상당 부분. 그 일을 의미있게 하려면 우선 모수가 유일(unique)하여야 함.
[모수가 유일하지 않다면 추정량이 무엇을 추정하고 있는지 말할 수 없기에 추정량을 통한 (예컨데) 경제적 해석이 의미를 갖기 어려움.]
2. 식별
모형 내의 한 모수가 unique함이 보장되면 그 모수가 식별되었다고 말함.
어느 식의 모수가 모두 식별된 경우 그 식이 식별되었다고 함. (식이 하나인 경우에는 모형과 식이 일치하므로 모형이 식별되었다고 해도 마찬가지.)
모형내에 식이 여럿인 경우, 모형을 구성하는 식이 모두 식별된 경우 모형이 식별되었다고 말함.
3. 첫번째 예: 선형회귀모형
y_t = beta x_t + u_t
모형만 주어져 있을 뿐 아무런 추가 정보가 없다면 이 식의 beta는 식별되지 않은 상태임.
모형에 수반되어 E(x_t^2 ) > 0 과 E(x_t u_t) = 0 의 조건이 주어져 있다면 이 모형은 식별되었음. 왜냐하면 E(x_t u_t) = E[x_t (y_t - beta x_t)] = 0 로 부터
(즉, 모집단 정규방정식으로부터) beta = E(x_t y_t) / E(x_t^2) 로 beta가 unique하게 정해지기 때문.
그러므로 표준적인 경우(즉 대수의 법칙이 성립하는 경우) 최소자승법을 통해 beta를 consistently estimate 할 수 있음 (= "OLS 추정량 beta hat은 beta에 대한
일치추정량임")
[E(x_t^2 ) > 0 의 조건은 no multicollinearity의 조건에 해당. 이 것은 보통 충족된다고 보는 것이기에 위의 두 조건 가운데 핵심은 E(x_t u_t) = 0 의 조건임.]
4. 위 3의 모형에서 이제 x_t 가 내생변수라고 한다면, 이는 위에서와는 달리 E(x_t u_t) 가 영이 아니라고 말하는 것임. 영이 아닐 수 있는 방법은 무수히
많기에 이렇게만 모형이 주어지면 beta가 unique하다고 말할 수 있는 근거가 없음. 즉 이 경우 beta 는 식별되지 않았음. 따라서 이의 추정을 시도하는 것은
의미가 없음.
그러나 위 모형과 더불어 제3의 관찰가능한 변수 w_t 가 있어서 E(w_t x_t) 가 영이 아니며 동시에 E(w_t u_t) = 0 이라는 조건이 주어져 있다면?
이 경우 직교조건을 활용하면 E(w_t u_t) = E[w_t (y_t - beta x_t )] = 0 이고, 따라서 beta = E(w_t y_t ) / E(w_t x_t )로 unique하게 정해짐을 볼 수 있음.
즉, beta는 이 경우 식별되었음.
따라서 땅나라에서 w를 도구변수로 삼아 도구변수 추정법을 사용하면 (표준적인 경우) beta를 consistent하게 추정할 수 있음.
[물론 이 경우 OLS를 사용하면 엉뚱한 대상을 (즉 beta = E(x_t y_t) / E(x_t^2) 로 정의된 beta를) 추정하는 결과가 되기에 잘못된 것임.]
5. 이제 연립방정식 모형으로 넘어가서. 모형이 다음과 같다면...
p = Aq + Rw + u
q = Bp + v 단, w는 외생변수 (= "E(w_t u_t ) = 0 and E(w_t v_t ) = 0") 그리고 A, R, B 는 계수들.
이 모형에서 p 와 q 는 동시에 결정되기에 내생변수들임. 즉 오차항과 직교하지 않는 상태임.
이 모형의 둘째 식은 위 4의 이유로 식별되었음.
그러나 첫 식은 계수를 정의하는 식이 E(w_t u_t ) = 0 하나 뿐인데 정의되어야 할 계수는 A와 R 두개임. 따라서 A와 R은 동시에 unique하게 정의될 수 없는
상태임. 다시 말해 첫 식은 식별되지 않았음.
첫 식이 식별되지 않았기에 이 모형은 식별되지 않은 모형임.
6. 식별은 초급의 단계에서 어렵게 여기기 쉬운 개념임. 이 설명이 도움이 되었길...