안녕하세요. 제가 월요일에 질문을 드리고 싶으나 예비군 훈련이 있는지라 게시판을 사용하게 되었습니다.
지금 통계학 복습 부분을 훑어보다가 지나온 exercise가 있어서 생각해보는데 생각보다 잘 안되어서 질문 드립니다.
E(x|x) = X임을 정의를 이용해서 증명하는 것인데요, 제가 개념적으로 생각했을 때는 E(x|x)가 x를 이용해서 x를
근사(예측,추측) 하는 값을 의미하므로 x가 되는 것이 당연하다고 생각합니다. 그런데 정의에 의한 수식으로 풀 때 막히는 부분이 있습니다.
제가 풀기에는 E(x|x) =∫ x*fx|x(x|x)dx = ∫ x*fx,x(x,x)/fx(x)dx 이렇게 풀고 이때 fx,x(x,x) 를 fx(x)라고
생각하고 풀었습니다. 그래서 결과적으로 ∫ x dx 가 나왔는데 ∫ x dx ≠ X 이므로 여기서부터 정의를 이용한 수식적 풀이가 막혔습니다.
제 생각에는 만약 전개과정에서 문제가 생겼다면 fx,x(x,x) 를 fx(x) 라고 놓은 부분과 ∫ x dx ≠ X 라고 생각한 부분 쪽에
오류가 있는 것 같습니다.
저의 풀이 과정에서 어떤 문제가 있는 것인지 알려주시면 감사하겠습니다.
<그냥 읽기 어려우면 긁어서 아래아 한글로 옮겨 보길.>
먼저 X=x^*로 주어졌다고 하자. (그리하는 것이 확률밀도함수 집단이 아닌 하나 만을 고려하는 것이 되기에.) 그러면 이 경우 조건함수는 다음과 같다.
f(x vert X=x^*) = 1 if x=x^*
= 0 otherwise
따라서 E(X vert X=x^*) = sum from {all x} x f(x vert X=x^*) = x^*.
위 결과는 임의의 x^*에 대해 성립하는 것이므로 x^*가 임의로(즉 random하게) 결정되도록 확장하면
E(X vert X) = sum from {all x} x f(x vert X) = X.