교수님~! 질문있습니다~!!

Dickey Fuller 검정에서 103p에 탈뮤 검정이랑 탈탈 검정에서

'(가정) {Xt}는 다음의 (possibly nonstationary) AR(1) 모형을 따름'

그리고 그 다음에 나와있는 회귀식이 이해가 안가는데요

탈뮤에서는

'델타 X_t = mu + phi*X_t-1  + e_t'

그리고 탈탈에서는

'델타 X_t = mu + a*t + phi*X_t-1 + e_t'가 되어야 하는 것 아닌가요? 

강의 노트에서는 각각

'X_t = phi*X_t-1 + e_t'

랑

'X_t = a + phi*X_t-1 + e_t'라고만 되어있어서요...

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<답> 우선 '탈'은 타우가 맞음. 탈탈은 타우타우(또는 타우 서브 타우). 다음부터는 너무 탈탈거리지 마라.

타우와 타우뮤 검정은 귀무가설을 채택하면 노트에 있는대로의 모형을 선택하는 것임. 반복대입을 통해 볼 수 있듯이 귀무가설이 맞는 경우 확정적 추세(deterministic trend)는 없음. 이래야 되는 것 아닌가라고 생각하는 첫번째 타우뮤 검정에 대한 모형의 경우, 영이아닌 인터셉트가 존재하면 귀무가설이 사실인 경우 X에는 deterministic trend가 존재하게 되고 소위 't' 통계량은 타우뮤분포를 따르지 않게 됨. 그 이유는(사과세개) deterministic trend가 random walk을 asymptotically dominate하게 되기 때문임.

타우타우 검정의 경우에도 이래야 맞는 것 아닌가하고 생각하는 모형은 귀무가설이 사실일때 이차형의 확정적 추세(quadratic trend)를 지니게 됨.(반복대입을 통해 확인 가능.) 차분된 변수의 관점에서는 귀무가설이 맞는 경우 deterministic trend를 갖게 됨. 타우타우가 검정하는 모형은 귀무가설이 사실일 때 차분된 변수에는 확정적추세가 들어있지 않는 모형임. 같은 이야기로, 차분되지 않는 X에는 이차형확정적 추세는 없다는 것임. X가 단위근을 지니되 동시에 이차형 확정적 추세를 지니면, 위에서 설명한 것과 유사한 현상이 발생. 즉 이차형 추세가 asymptotically dominate하게 되어서  t통계량이 타우타우 분포를 따르지 않게 됨. 

개략적인 설명이 되었기 바람. 위의 내용을 꼼꼼이 따지려면 functional central limit theorem이라고 불리는 고급 수단을 이용하여야 하는데 그 것은 우리 수준을 훨씬 초과하는 내용을 담고 있음. 

구체적으로 어떻게 모형을 선택해야하는지 감이 잘 안오는데요.

이경우에 우리가 알고 있는 일반적인 LM test나 F test를 통하여 과대, 과소모형을 판별해야 하는 것인지(극한분포가 이전과 동일한지, 아니면 얘네들도 t-dist처럼바뀌는지 궁금합니다..)

아니면.. 그냥 그래프를 그려봐서 대충 추세를 봐서 이 세가지 케이스 중 어느 케이스에 해당하는지만 판별해서 검정을 수행하면 되는지 궁금합니다~!

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<답> 강의에서 설명한 대로, 쉬운 예를 들어서 표준적인 상황에서 t검정을 단측검정(one-sided test)을 수행할 때 대립가설이 지시하는 위치에 기각역을 설정하는 것과 유사한 것임. 대립가설이 beta<0 으로 설정되어 있는데 기각역을 우측에 설정하는 것은 검정력(power of test)이 없는 가설검정을 수행하는 꼴이 되는 것이 기각역을 좌측에 설정하는 것임.

그와 마찬가지로 대립가설이 사실일 때 선택되는 모형이 현실의 데이터의 움직임을 묘사하는 형태가 되도록 검정통계량을 (타우, 타우뮤, 타우타우 가운데) 선택하여야 한다는 것임. 이에 대하여는 경제적인 논리가 역할을 할 수도 있고(예컨데 환율에 확정적 추세가 있기는 어렵다는 등), 테이터 그래프의 움직임을 통해 판단할 수도 있음.

장기관계식을 A(1)X = 0이라고 생각해야 하나요, 아니면 A(1)X + e_t = 0이라고 생각해야 하나요?

즉, 오차항을 장기관계 식에 넣어줘야 하는 것인가요, 아니면 얘도 차분된 변수들과 마찬가지로 단기적인 효과니까 무시할 수 있는 것인가요?

<답> 장기관계식은 일반적으로 오차항을 생략하고 말하는 것이 보편적. '관계식'이기에 두 변수 사이의 영향관계를 나타내는 식으로 생각되기 때문. 예컨데 노트에서 예로 거론한 Sargan 모형의 경우 장기관계식은 실질임금이 상수라는 것임.

이렇게 생각하는 것은 경제모형의 대부분이 오차항을 반영하지 않고 표현되는 관행과도 연결되어 있다고 볼 수 있음.

단, 상황에 따라서는 장기에도 오차항이 존재한다고 보고 논의가 진행되는 경우도 있을 수 있음. 이 경우에는 오차항을 포함한 상태로 장기식을 나타낼 수 있을 것임. 그래도 여전히 두 변수사이의 관계는 A(1)이 나타내고 있는 계수 값들이라는 점에는 변함이 없음. 

친절한 답변 정말 감사드립니다.... ㅜㅜ. 내용을 이해하는데 엄청나게 도움이 많이 되었어요.. 근데 지금까지 항상 '탈'이라고 읽어왔는데 이거 참 쑥쓰럽게 되었네요.. ㅋㅋ 그럼 기말고사 끝나고 다음주 보강때 뵙겠습니다~! ㅋㅋ