p.15 조건기대의 성질 중 (가)반복기대의 법칙과 (다)조건변수의 함수가 조건기대 취해지는 경우 비확률변수 처리됨과 관련해서….성질 (가)의 경우 조건변수를 표현하는 정보집합 간에 Big Small Small, 성질 (다)의 경우 Small Big Small의 관계가 성립해서 2회의 조건기대가 각각 1회의 조건기대로 줄여지는데요. 만약 조건변수를 포함하는 정보집합간 어떠한 포함관계도 없다면 위에 언급된 것처럼 조건기대를 취하게 되는 횟수가 줄어들진 않는건가요?
예를 들면 E[E(YlX,Z,W)lX,S]의 경우는 위의 경우처럼 다른 어떠한 표현으로 줄어드는건 아닌지 궁금합니다.
그리고 교수님께서 “무조건 기대는 언제나 조건기대(의 기대)로 변환가능 하다”고 하셨는데, “언제나”의 의미가 “임의의 정보집합을 조건으로 하는”이란 의미와 동일하다고 이해했는데 맞게 이해한건지 궁금합니다.
p. 16 상단에 위치한 식의 전개과정에서….교수님께서 수업시간에 언급하셨는데 제가 맞게 이해하고 있는지 확인하고 싶어서 올립니다.
첫번째 등호 우변식=int int yf(ylx,z)dyf(x,zlx)dz
=int int yf(ylx,z)f(x,zlx)dydz
=int int y[f(x,y,z)/f(x)]dydz.........
위 전개가 적절한 것인지 궁금합니다.
p.17 성질(바)와 관련해서…증명과정에서 “조건기대가 영이면 무조건기대는 역시 영이므로”라는 문구가 필요없지 않나 싶습니다. 만약 성질(바)가 “U=…………….두면 E[UlX]=0” 이 아니라 “U=…………….두면 E[U]=0”라고 표현된다면 필요하겠지만요.
그리고 “조건기대가 영이면 무조건기대는 영이다”라는 명제의 역은 성립하지 않다고 이해했는데요. 그 과정은 다음과 같습니다. 맞게 이해한건지 궁금합니다.
; E[U]=0 E[U]=E[E[UlX]]=0 by LIE. 근데 어떠한 확률변수의 기대값이 영이라고 해서 그 확률변수가 영이라는 것은 보장되지 않음. 즉 E[UlX]=0인지는 알 수 없음.
p.17 성질(바) 바로 밑에 (note) 부분을 증명하는 과정에서 …다음과 같은 과정이 전개되는데 적절하게 전개한건지 궁금합니다.
E[U*h(X)]=E[E[U*h(X)lX]] by LIE =E[h(X)*E[UlX]]=0 by E[UlX]=0.
p.21 상단부분의 예제와 관련해서요…
이를 다시 표현해보면…“E[YlX]=E[Y]가 성립하면 Cov(X,Y)=0임을 보여라”인데요.
이 문제를 접근하는데 있어서 p.16의 성질 (라)를 이용할 수는 없는 지 고민해보았습니다. 왜냐하면, 만약 성질 (라)의 역이 성립한다면 바로 위 예제가 바로 풀리게 된다는 생각이 들었기 때문입니다. 성질 (라)의 역이 성립하는지 기대값의 정의를 이용해서 접근해보았는데요. E[YlX]=E[Y] int yf(ylx)dy=int yf(y)dy int yf(x,y)dy=int yf(x)f(y)dy
여기서 적분값이 같다고 피적분함수가 같다는 보장은 없으니 f(x,y)=f(x)f(y)가 성립한다는 보장이 없어서 성질 (라)의 역은 성립하지 않는다라는 결론을 내렸는데 맞게 접근한건가요?
이 결론 하에 이리저리 머리를 굴려보다가 확률론 책을 뒤져보던 중, E[XY]=E[X*E[YlX]]를 증명하고 이용하라는 내용을 발견하였습니다. 증명 과정은…우변=E[X*E[Y]] by 조건 =E[Y]E[X] by E[Y]는 상수.
물론 이 조건을 이용하면 쉽게 증명이 되는데, 교수님께서 이 접근방법이 아닌 다른 방법을 의도하시고 문제를 내신 건 아닌지 의문이 들어 질문 올립니다.
p.21 중간부분의 (Fact) X와 Y과 확률적으로 독립이면, g(X) 와 h(Y)도 확률적으로 독립이다”의 역은 성립하는 지 의문점이 들었습니다. 제 생각은… 어디서부터 접근해야 할지 감을 잡을 수가 없어서…;
p.24 통계량의 확률분포와 관련된 용어와 관련해서…통계학 공부를 하다가, 통계량의 확률분포와 표본의 확률분포를 접하게 되었는데(표본의 확률분포는 유일하나 통계량의 확률분포는 통계량의 종류에 따라 다양함), 이것과 관련된 용어가 표집분포, 표본분포, sampling distribution, sample distribution등 이 등장하는 데 각각에 대응되는 적절한 혹은 자주 대응되는 영문표현 혹은 한글표현이 어떻게 되는지 궁금합니다.
p. 28 연속함수정리 예 ①에서 화살표 왼쪽의 n이 화살표 우측에서 T로 변했는데요. 오타는 아닌지 궁금합니다.
그리고, 따름정리 바로 밑에 있는 예제와 관련하여…
Plim시그마제곱헷=Plim(1/n)∑(Xi)제곱 - PlimXbar제곱….
=”E[X제곱]by LLN” – “(E[X])제곱 by LLN, CMT
요렇게 풀었는데요. 맞게 접근한건지 궁금합니다.
그리고 확률수렴과 관련해서 n이 무한히 커짐에 따라 확률변수가 비확률변수에 수렴하는 것은 교수님께서 설명하신 것처럼(표본크기가 무한대에 접근함에 따라 밀도함수의 그래프가 추정의 대상인 모수 위에 수직선의 형태로 오그라듬) 직관적으로 이해를 했는데요. n 이 무한히 커짐에 따라 확률변수가 확률변수에 확률수렴하는 경우는 직관적으로 어떻게 이해해야 할 지…궁금합니당.