교수님 안녕하십니까
p10의 exercise (iii)을 해결하는데 있어서
E(P(t+k)l오메가(t)) 를 활용하여 E(P(t)l오메가(t-k)) 라는 생각을 하였고 ------(*)
E(e(t)e(t-k)) = E( E(e(t)e(t-k) l 오메가(t-k)) = E( E[(P(t)-P(t-1))(P(t-k)-P(t-k+1)) l 오메가(t-k)] ) 에서
(*)을 이용하여 P(t-i)가 모두 P(t)가 된다고 생각하여 결론적으로 = 0 이라고 생각을 하였는데
마지막 부분에서 논리적으로 제대로 한 것인지 그렇지 않다면 올바른 연결고리가 무엇인지 고민이 되어 질문을 드립니다.
감사합니다.
주어진 것 --- E(P_t vert Omega_t-1 ) = P_t-1 .
문제에서와 같이 epsilon_t = P_t - P_t-1 라고 두면
E( epsilon_t vert Omega_t-1 ) = E( P_t - P_t-1 vert Omega_t-1 ) = E(P_t vert Omega_t-1 ) - E(P_t-1 vert Omega_t-1 ) = P_t-1 - P_t-1 = 0 .
즉, E( epsilon_t vert Omega_t-1 ) = 0 . [따라서 epsilon_t 는 Martingale difference 임].
이제 이를 이용하여, 모든 k>=1 에 대하여
E( epsilon_t epsilon_t-k ) = E[ E( epsilon_t epsilon_t-k vert Omega_t-1 )] (LIE)
= E[ E( epsilon_t vert Omega_t-1 ) epsilon_t-k ] (epsilon_t-k 는 Omega_t-1 에 속하므로)
= E[ 0 epsilon_t-k ] (위에서 보인 E( epsilon_t vert Omega_t-1 ) = 0 를 이용하였음.)
= 0 (QED)