강의노트 93페이지에 (참고)에 보면
ut가 white noies일 때 장기분산과 장기분산의 추정치가 어떻게 되느냐가 나와 있습니다.
1번 질문: 그런데 white noise라는 조건만으로는 Zt*ut의 j번째 autocovariance = E(Zt*Ut*Ut-j*Zt-j')가 0이 됨을 보일 수 없는 것 같습니다.
혹시 Ut가 martingale difference인가 싶어서 해보았지만 이 경우에도 t-1기의 정보집합(오메가를 쓸 줄 몰라서 A로 대체하겠습니다)에 Zt 가 포함되어 있지 않으면 0이 됨을 보일 수 없는 것 같습니다.
t-1기의 조건기대를 취해보아도 E[E(Zt*Ut*Ut-j*Zt-j'| At-1)]=E[Ut-j*Zt-j' E(Zt*Ut| At-1)]가 되어 E(Zt*Ut| At-1) 를 0으로 만들수가 없습니다. 물론 At-1안에 Zt 가 포함되어 있다면 0 될 수 있습니다.
ut는 martingale을 따르는건지 따르는것이 맞아도 At-1는 Zt 를 포함하는 것인지, 아니면 white noise라는 가정만으로도 j번째 autocovariance가 0이 될수 있는지 알고 싶습니다.
2번 질문: j번째 autocovariance가 모두 0이면 장기분산이 보통의 분산과 동일함을 보이는 부분에서 E(Zt*Ut*Ut*Zt')= σ2 E(Zt*Zt')가 성립함을 보이는 식이 있습니다. Ut 는 Zt와 독립이 아니므로 white noise이라는 가정(혹은 martingale difference)만으로는 등호가 성립함을 잘 보일수가 없어서 질문드립니다. ut 가martingale difference이고 At-1는 Zt 를 포함한다는 가정하에 t-1기 정보집합으로 조건부기대를 취해보아도 E(Zt*Ut*Ut*Zt')= E[E(Zt*Ut*Ut*Zt'| At-1)]=E[ Zt*Z't E(Ut*Ut| At-1)] 가 되서 E(Ut*Ut| At-1) =시그마2 이 아닌이상 위의 등호가 어떻게 성립하는 것인지 잘 이해가 가질 않습니다.
답변해 주시면 정말 감사하겠습니다!!