독립의 정의가
fxy(x,y) = fx(x)*fy(y)
라고 할 때 E(xy) = E(x)E(y) 가 성립하게 됩니다.
그런데 여기에서 역의 관계도 성립하는지 궁금합니다.
그리고 'E(xy) = E(x)E(y) 이면 Cov(x,y) = 0 '라는 명제는 성립하는데
이 때도 마찬가지로 역의 관계가 성립하는지 궁금합니다.
꽤 오래 생각해 봤는데 어떤 식으로 접근해야 할 지 잘 모르겠습니다 ;;;
fxy(x,y) = fx(x)*fy(y)
라고 할 때 E(xy) = E(x)E(y) 가 성립하게 됩니다.
그런데 여기에서 역의 관계도 성립하는지 궁금합니다.
그리고 'E(xy) = E(x)E(y) 이면 Cov(x,y) = 0 '라는 명제는 성립하는데
이 때도 마찬가지로 역의 관계가 성립하는지 궁금합니다.
꽤 오래 생각해 봤는데 어떤 식으로 접근해야 할 지 잘 모르겠습니다 ;;;
2008.04.27 16:32:49
위에 리플다신 분과 어쩌면 같은 결론이고 어쩌면 다른 결론일지 모르겠지만......
1) X와 Y의 확률적 독립의 정의: fxy(x,y) = fx(x)*fy(y)
2)확률변수 X, Y에 대해 fxy(x,y) = fx(x)*fy(y)가 성립한다면
=====>적분을 이용해서 양변을 바꾸어 주는 과정을 거치면..
=====>E(xy) = E(x)E(y) 가 성립.
E(xy) = E(x)E(y) 가 성립한다면
<=====>int int xyf(x,y)dxdy = int xf(x)dx int yf(y)dy . 이를 적절히 변환해주면
int int xyf(x,y)dxdy = int int xyf(x)f(y)dxdy .
여기서 적분값이 동일하다고 해서 피적분함수가 동일할 수는 없으니 역은 성립하지 않음.
3) E(xy) = E(x)E(y)와 Cov(x,y) = 0 는 같은 의미인 듯...
Cov(x,y) = E(xy) - E(x)E(y) 이니깐요....;;;
결론적으로 2)에서 언급한 이유에 따라...
확률변수 X와 Y가 확률적 독립이면 E(XY) = E(X)E(Y)(<===>Cov(x,y) = 0) 이 성립하지만,
E(XY) = E(X)E(Y)이 성립한다고 해서 독립은 아님.
아...그리고 이것과는 좀 다른 측면에서(같은 측면일지도 모름)
"어떠한 X와 Y에 대한 자료가 주어졌을 때 X와 Y에 대한 상관계수가 영이 나온다면
두 자료는 어떠한 관계도 지니고 있지 않다"라는 명제가 주어졌을 때, 반례로 위에 리플다신 분의 예를 들으면 적절하지
않을 까 생각해봅니다. 즉, 두 변수 간의 상관계수가 영이 나온다면 이는 두 변수 사이에 직선의 관계가 없음을 뜻하는 것이지
다른 어떠한 관계(예를 들면 산점도를 찍었을 때 포물선이라든지 원의 관계)도 없음을 뜻하는 것은 아니니까요...
1) X와 Y의 확률적 독립의 정의: fxy(x,y) = fx(x)*fy(y)
2)확률변수 X, Y에 대해 fxy(x,y) = fx(x)*fy(y)가 성립한다면
=====>적분을 이용해서 양변을 바꾸어 주는 과정을 거치면..
=====>E(xy) = E(x)E(y) 가 성립.
E(xy) = E(x)E(y) 가 성립한다면
<=====>int int xyf(x,y)dxdy = int xf(x)dx int yf(y)dy . 이를 적절히 변환해주면
int int xyf(x,y)dxdy = int int xyf(x)f(y)dxdy .
여기서 적분값이 동일하다고 해서 피적분함수가 동일할 수는 없으니 역은 성립하지 않음.
3) E(xy) = E(x)E(y)와 Cov(x,y) = 0 는 같은 의미인 듯...
Cov(x,y) = E(xy) - E(x)E(y) 이니깐요....;;;
결론적으로 2)에서 언급한 이유에 따라...
확률변수 X와 Y가 확률적 독립이면 E(XY) = E(X)E(Y)(<===>Cov(x,y) = 0) 이 성립하지만,
E(XY) = E(X)E(Y)이 성립한다고 해서 독립은 아님.
아...그리고 이것과는 좀 다른 측면에서(같은 측면일지도 모름)
"어떠한 X와 Y에 대한 자료가 주어졌을 때 X와 Y에 대한 상관계수가 영이 나온다면
두 자료는 어떠한 관계도 지니고 있지 않다"라는 명제가 주어졌을 때, 반례로 위에 리플다신 분의 예를 들으면 적절하지
않을 까 생각해봅니다. 즉, 두 변수 간의 상관계수가 영이 나온다면 이는 두 변수 사이에 직선의 관계가 없음을 뜻하는 것이지
다른 어떠한 관계(예를 들면 산점도를 찍었을 때 포물선이라든지 원의 관계)도 없음을 뜻하는 것은 아니니까요...
그렇다고 X와 Y의 관계가 독립인 건 아니지요...